1. 本选题研究的目的及意义
薛定谔方程是量子力学中的基本方程，它描述了微观粒子的状态随时间演化规律。
拟线性薛定谔方程是一类重要的非线性薛定谔方程，它在物理学、化学、生物学等领域有着广泛的应用，例如，在凝聚态物理中描述玻色-爱因斯坦凝聚，在非线性光学中描述光脉冲在光纤中的传播，在等离子体物理中描述等离子体的行为等等。
本选题旨在研究一类拟线性薛定谔方程解的存在性问题，这是一个重要的数学问题，具有重要的理论意义和应用价值。
2. 本选题国内外研究状况综述
拟线性薛定谔方程的研究历史悠久，并且在国内外都取得了丰富的研究成果。
1. 国内研究现状
国内学者在拟线性薛定谔方程解的存在性方面取得了一系列重要成果。
3. 本选题研究的主要内容及写作提纲
本研究将针对一类具有特定非线性项的拟线性薛定谔方程，利用变分法、拓扑方法等现代数学工具，结合方程的具体结构，证明该类方程在特定条件下解的存在性。
具体研究内容如下：
1.建立一类拟线性薛定谔方程的数学模型，明确方程的具体形式和边界条件等。
2.利用变分法，构造与方程解对应的能量泛函，并分析其性质，例如连续性、可微性、coercivity等。
4. 研究的方法与步骤
本研究将采用以下方法和步骤：
1.文献调研：广泛查阅国内外相关文献，了解拟线性薛定谔方程的研究现状、主要方法和最新进展，为本研究提供理论基础和研究思路。
2.模型建立：根据研究目的，建立一类具有特定非线性项的拟线性薛定谔方程的数学模型，明确方程的具体形式、边界条件和初始条件等。
3.理论分析：利用变分法、拓扑方法等现代数学工具，结合方程的具体结构，分析方程解的存在性、唯一性、正则性等性质。
5. 研究的创新点
本研究的创新点在于：
1.研究对象的新颖性：本研究将针对一类具有特定非线性项的拟线性薛定谔方程，该类方程的非线性项具有一定的特殊结构，使得解的存在性问题变得更加复杂和有趣。
2.研究方法的创新性：本研究将尝试结合变分法、拓扑方法等多种数学工具，利用方程的特殊结构，发展新的研究方法，以期获得更有效的解的存在性证明方法。
3.研究结果的应用价值：本研究的结论将为相关领域的应用提供理论支持，例如凝聚态物理、非线性光学、等离子体物理等，具有潜在的应用价值。
6. 计划与进度安排
第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。
第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲
第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文
7. 参考文献（20个中文5个英文）
1. 毛安民, 段华, 刘兆俊. 一类拟线性薛定谔方程基态解的存在性[J]. 数学物理学报, 2018, 38(3): 523-534.
2. 魏军. 一类拟线性薛定谔-Poisson 方程组解的存在性[J]. 数学的实践与认识, 2020, 50(19): 260-267.
3. 孙杰, 苏加宝, 陈晓红. 一类拟线性薛定谔方程正解的存在性[J]. 数学年刊A辑(中文版), 2019, 40(2): 201-212.
