1. 本选题研究的目的及意义
Burgers方程作为流体力学中一个基础的偏微分方程模型，它简洁的形式蕴含着丰富的物理现象，例如动量传输、能量耗散以及冲击波的形成与传播。
特别是在非线性科学领域，Burgers方程经常被用来描述湍流、交通流等复杂系统的行为。
粘性稀疏波解作为Burgers方程一类重要的解，它表征了流体在粘性作用下，初始的稀疏状态逐渐演化为稳定的冲击波结构。
2. 本选题国内外研究状况综述
Burgers方程作为流体力学和非线性科学中的一个基本模型，其解的性质，特别是稳定性问题，一直受到国内外学者的广泛关注。
1. 国内研究现状
国内学者在Burgers方程的数值解法、解的渐近行为以及稳定性分析等方面取得了一系列重要成果。
3. 本选题研究的主要内容及写作提纲
1. 主要内容
本研究将围绕Burgers方程初边值问题粘性稀疏波解的稳定性问题展开，主要内容包括：
1.Burgers方程及粘性稀疏波解概述:介绍Burgers方程的物理背景、数学模型及其基本性质，并详细描述粘性稀疏波解的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
2.线性稳定性分析:对Burgers方程在粘性稀疏波解附近的线性化方程进行分析，推导出特征值问题，并利用谱分析方法研究特征值的分布规律，从而得到粘性稀疏波解线性稳定的条件。
4. 研究的方法与步骤
本研究将采用理论分析与数值模拟相结合的方法，并按照以下步骤逐步展开：
1.文献调研:深入查阅Burgers方程、粘性稀疏波解、稳定性分析等方面的国内外文献，了解该领域的最新研究动态和已有成果，为本研究奠定理论基础。
2.理论分析:首先，利用Cole-Hopf变换或其他解析方法，得到Burgers方程粘性稀疏波解的表达式。
其次，在粘性稀疏波解附近对Burgers方程进行线性化，推导出线性化方程的特征值问题。
5. 研究的创新点
本研究的创新点在于：
1.聚焦于粘性稀疏波解:与以往多关注Burgers方程行波解或一般解的稳定性不同，本研究将重点关注粘性稀疏波解这一特殊类型解的稳定性问题，具有一定的理论研究价值。
2.结合理论分析与数值模拟:本研究将采用理论分析与数值模拟相结合的研究方法，相互验证、互为补充，可以更全面、更深入地揭示Burgers方程粘性稀疏波解的稳定性特征。
3.探索新的稳定性分析方法:本研究将在借鉴现有稳定性分析方法的基础上，尝试探索新的、更有效的分析方法，以期为Burgers方程以及其他非线性偏微分方程的稳定性分析提供新的思路。
6. 计划与进度安排
第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。
第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲
第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文
