1. 研究目的与意义
背景：皮亚诺公理（Peano axioms），也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。代数学以自然数系为开端，不断扩充，如自然数扩充为整数；整数扩充为有理数；有理数扩充为实数等。数系的扩充贯穿整个代数学。半群扩充到群类似于自然数扩充到整数；环扩充到域的过程类似于整数扩充到有理数的过程；而有理数扩充到实数则体现了代数与分析的结合。
目的：熟悉数系的扩充加深对抽象代数学的学习。
意义：熟悉数系的扩充有利于抽象代数学的学习。
2. 研究内容和预期目标
主要研究内容：（1）数系、群、环、域的扩张
（2）扩张所使用的构造方法及数学原理
预期目标：（1）系统综述数系的扩张；群、环、域的扩张。
3. 研究的方法与步骤
研究方法：学习相关知识、复习并掌握数系的相关知识，了解数系、群、环、域的扩张所使用的构造方法及数学原理，总结研究成果并提出进一步的设想。
步骤：首先从互联网或书籍中搜集学习相关知识，如：皮亚诺公理的五条公理、数系的扩张，群、环、域的扩张、扩张所使用的的构造方法及数学原理。
然后利用已学知识进行总结，将群、环、域的扩张与数系扩张进行对比，并提出今后进一步研究的初步设想。
4. 参考文献
[1] 北京大学数学系前代数小组编，王萼芳、石生明修订. 高等代数（第五版）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2019。
[2] Walter Rudin著, 赵慈庚，蒋铎译. 数学分析原理[M]. 北京: 机械工业出版社，2019。
[3] 科斯特利金著，郭文彬译. 代数学引论[M]. 北京：高等教育出版社, 2007.
5. 计划与进度安排
（1）文献检索，提交开题报告：第1-2周2月20日- 3月3日）；
（2）论文研究，提交外文翻译初稿：第3-4周（3月6日- 3月17日）；
（3）论文研究，提交论文初稿：第5-12周（3月20日- 5月12日）；
