多边形的极值问题开题报告

研究背景：

在平面几何中存在着许多极值问题，其中主要是由Croft,Falconer和Guy所提出，而这类问题通过希腊人的几何推理得到解决，随着数学家对这类问题解决方式的优化与补充，凸多边形的极值问题也引起了几何学家的关注，存在于凸几何中，凸几何是现代几何学中主要以凸体或星体为研究对象的一个重要分支，它起源于19世纪末和20世纪初，H.Brunn和H.Minkowski是两位杰出的奠基者，随着数学的发展，凸几何成为了一个重要的几何分支。

近年来，数学家们对凸体挖掘得越来越深，尤其是在极值问题中，较为经典的问题是等周问题。当然，简约体的研究也越来越多，对于2维平面上的简约体已基本完成研究，其性质也都有了比较详细的证明与讨论，尤其是对于简约多边形面积、周长、直径和外接圆半径与宽度的关系的研究。

2. 研究内容和预期目标

主要内容和预期目标：

综述二维平面凸几何的基础知识。

综述二维平面多边形的等周问题的基本理论，知道等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，圆形的面积最大。

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

本论文采用的主要研究方法是文献分析法，将二维多边形的周长和它的极值相结合进行研究。

研究步骤：

4. 参考文献

[1]Audet, C., Hansen, P., Messine, F.: Extremal problems for convexpolygons[J]. J.
Global Optim. 38(2), 163–179 (2007)
[2] Audet, C., Hansen, P., Messine, F.: The small octagon with longestperimeter[J].
J. Combin. Theory Ser. A. 114(1), 135–150 (2007)
[3] Bezdek A, Fodor F. On convex polygons of maximal width[J]. Arch. Math.,2000, 74(1): 75-8
[4] Graham, R.L.: The largest small hexagon[J]. J. Combin. Theory Ser. A. 18,165–
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[5] Liu C., Chang Y., Su Z.. The area of reduced spherical polygons[J].arXiv: 2009.13268v
[6] Lassak M. Reduced spherical polygons[J]. Colloq. Math., 2015, 138: 205-216
[7] Mossinghoff, M.J.: Isodiametric problems for polygons[J]. Discrete Comput.Geom.
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[8] Mossinghoff, M.J.: Enumerating isodiametric and isoperimetric polygons[J].J.
Combin. Theory Ser. A. 118(6), 1801–1815 (2011)
[9] Lay S R. Convex Sets and Their Applications[M]. New York: DoverPublications, 2007
[10] Murray D.A., Spherical trigonometryM], Longmans Green and CO, London,Bombay and Calcuta, 1900

[11]M.Lassak, Reduced convex bodies in the plane,Israel J.Math,70(1990),365-379

5. 计划与进度安排

1. 2月20日-3月3日， 完成开题报告；
2. 3月6日-5月26日，毕业论文写作；
3. 4月10日-4月21日，中期检查；
4. 5月1日-5月12日，完成论文初稿；
5. 5月15日-5月22日，论文定稿；
6. 5月23日-5月29日，论文答辩。